SCIENCES DE L'INGENIEUR
Niveau : Terminale générale, enseignement de spécialité SI
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TP : TRANSAT BERCEUR
1. Introduction
Extrait du magazine © Enfant Magazine (article rédigé par Marie Auffret-Pericone avec le Dr Françoise Delormas, médecin) : « Aujourd’hui, pour calmer le nouveau-né, on redécouvre ce geste tendre, simple et ancestral du bercement »
Ces mouvements rythmés semblent avoir un effet bénéfique parce qu’ils recréent en partie les sensations qu’il a connues lorsqu’il était dans votre ventre.
Bercer bébé est un geste inné :
le bon rythme ? Celui-de votre cœur. Des études ont mis en évidence que le bercement le plus efficace comprend entre 60 et 70 oscillations par minute (proche des battements du cœur au repos), de faible amplitude ; votre bébé a ses préférences. Ce qu'il préfère ? Etre bercé d’avant en arrière, plutôt que de gauche à droite. Votre rythme doit être doux, répétitif et régulier. Vous constaterez que vous ralentissez progressivement l’allure quand vous allez et venez en berçant votre tout-petit dans vos bras ».
2. Présentation et caractéristiques du système étudié
Un moteur permet de mouvoir le transat horizontalement et l’autre verticalement. La régulation de la vitesse horizontale et l’asservissement de position du moteur vertical permettent de créer 5 mouvements de bercements différents et 6 vitesses de bercements : 10, 20, 30, 40, 50 et 60 bercements/min (ou tr/min ±10%)
D'après la video, bercement naturel, quel mouvement de bercement est pratiqué ?
En relevant les points de la trajectoire du bébé sur la vidéo on obtient les signaux suivants :
Les signaux s’apparentent à des sinusoïdes.
Déterminer l’amplitude A, la période T et le déphasage φ de chaque courbe :
| x(t) | y(t) | |
|---|---|---|
| A(m) | ||
| T(s) | ||
| F(Hz) | ||
| φ(°) |
3. Modélisation mathématique du bercement
Description du modèle
Les courbes de déplacement horizontal x(t) et vertical y(t) déterminées à partir d’un bercement naturel sont similaires aux fonctions mathématiques sinusoïdales :
Ouvrir le fichier sinusoides.xlsx et déterminer le nombre bercements/min, l’amplitude et le déphasage pour obtenir les résultats ci-dessous pour x(t) et y(t)
| x(t) | y(t) | |
|---|---|---|
| f(Hz) | ||
| Amplitude | ||
| Déphasage en ° | ||
| période (s) | ||
| Rapport Tx/Ty | ||
Ouvrir le fichier Excel « Trajectoires possibles.xlsx »
Remplir le tableau ci-dessous afin de trouver les mouvements de bercement possibles
| Trajectoire |  |
 |
 |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Débattement horizontal(mm) | ||||||
| Débattement vertical(mm) | ||||||
| Rapport Tx /Ty | ||||||
| Déphasage φ |
4. Modèle multiphysique du berceur :
Schéma blocs de la régulation de vitesse du moteur horizontal x(t)
Q1. Placez les éléments suivants : Motoréducteur, Capteur, Consigne, Hacheur, Correcteur
Exécuter le programme OpenModelica puis charger le fichier « ModeleBerceur1.mo ». développer l’arbre et faire un double clic sur le schéma de la modélisation 
Modifier le rapport d’angle et les déphasages des bielles manivelles afin de vérifier les 3 premières trajectoires. Procédez par un double clic sur la consigne « rapport_angle » et déphasage de la « biellemanivelle1 »
Cliquez sur l’icône S, modifier le temps de fin de simulation puis validez.
Ajoutez une nouvelle fenêtre paramétrique 
Cochez les grandeurs de sortie dans l’ordre suivant : Position_Hor puis Position_Vert
Collez la capture de vos 3 simulations dans le tableau ci-dessous
| Car ride | Kangaroo | Tree swing |
|---|---|---|
Réponse à un échelon
La consigne est donnée en rd/s. Déterminer la valeur de la consigne permettant d’obtenir une période T=1,4s.
On rappelle que si F = 1Hz NMOT = 1 tr/s ce qui correspond à 2π rd/s
Modifier la valeur de la consigne et lancez la simulation pour une durée de 1s
Cochez deux variables suivantes :
Compléter les valeurs de l'axe des ordonnées
Relever sur le graphique ci-dessus
- Consigne :
- valeur finale :
- erreur statique :
- temps de réponse à ±5% :
Quel est l’ordre de l’asservissement ? justifiez votre réponse par un calcul et un relevé graphique.
Etude du correcteur proportionnel :
K1 = 10, mais l’alimentation du moteur ne peut pas dépasser 12 volts et ne peut pas descendre sous 0 volts, d’où le modèle suivant :
En cliquant sur l'image, tracez la caractéristique de Um = f(ε)
Sachant que ωm=ωh, Um=Ua, calculer Um en utilisant les résultats de la simulation de la réponse à un échelon du graphique précédent.
Calculer les valeurs des blocs K2, K3, K4 losque K1=10.
On donne la relation suivante :
Calculer ωh lorsque K1 = 100 (ωc = 4.5 rd/s)
Remplacer le gain proportionnel K1 par 100 et lancer la simulation. Insérez une capture de la simulation
Quelle est l’influence de l’augmentation du gain proportionnel K1 ? quels sont les risques si K1 devient trop grand ?
La consigne du modèle est donnée en rd/s. Ouvrir le fichier « ModeleBerceur2.mo » et modifier le modèle afin de donner la consigne en bercements.min-1 (indice : 1 bercements.min-1 = 1 tr.min-1 du moteur).
Insérez une capture de votre modification ci-dessous
Etude de l’asservissement de position
Pour obtenir un bercement de type « tree swing » (Fig. 2), la vitesse de rotation du moteur vertical doit être deux fois plus grande que la vitesse de rotation du moteur horizontal. La consigne du rapport d’angle entre les deux moteurs doit donc être réglée à
Q10. Déterminer l’équation de R en fonction de ωv, ωh et K du modèle ci-dessus. En déduire le rôle de K=0,000001.
La simulation ci-dessous représente l’évolution de l’angle en rad des deux moteurs en fonction du temps
D’après le graphique ci-dessus, justifiez que l’asservissement de position fonctionne bien